MATEMATIKA SBAGAI ILMU DEDUKTIF

Penalaran Induktif dan Deduktif
Matematika dikenal sebagai ilmu deduktif. Ini berarti proses pengerjaaan matematika harus bersifat deduktif. Matematika tidak menerima generalisasi berdasarkan pengamatan (induktif), tetapi harus berdasarkan pembuktian deduktif. Meskipun dedmikian untuk membantu pemikiran, pada tahap permulaan seringkali kita memerlukan bantuan contoh-contoh khusus atau ilustrasi geometris.
Perlu pula diketahui bahwa baik isi maupun metode mencari kebenaran dalam matematika berbeda dengan ilmu pengetahuan alam, apalagi dengan ilmu pengetahuan umumnya. Metode mencari kebenaran yang dipakai oleh matematika adalah ilmu deduktif, sedangkan oleh ilmu pengetahuan alam adalah induktif/eksperimen. Namun dalam matematika, mencari kebenaran itu bisa dimulai dengan cara induktif, tetapi selanjutnya generalisasi yang benar untuk sebuah keadaan harus bisa dibuktikan secara deduktif. Dalam matematika, suatu generalisasi, sifat, teori atau dalil itu belum dapat diterima kebenarannya sebelum dapat dibuktikan secara deduktif.
Matematika mempunyai bahasa dan aturan yang terdefinisi dengan baik, penalaran yang jelas dan sistematik, dan struktur yang sangat kuat. Dengan berbagai keunggulan ini, matematika digunakan sebagai suatu cara pendekatan dalam mempelajari ilmu pengetahuan dan teknologi, dan dalam menyelesaikan masalah yang rumit. Matematika juga merupakan suatu alat bantu yang digunakan oleh para pakar dalam berbagai bidang disiplin ilmu. Dengan matematika, suatu masalah nyata dapat dilihat dalam suatu model yang strukturnya jelas, tepat, dan bentuknya kompak (singkat dan padat).
Unsur utama dalam pekerjaan matematika adalah penalaran deduktif, yang bekerja dengan berbagai asumsi, tidak dengan pengamatan. Selain itu, matematika juga bekerja berdasarkan fakta dan fenomena yang muncul untuk sampai pada suatu perkiraan tertentu, yang dikenal sebagai penalaran induktif. Tetapi perkiraan yang diperoleh tidak dapat diterima begitu saja, harus diyakinkan kebenarannya atau dibuktikan secara deduktif dengan argument yang konsisten dan meyakinkan. Pekerjaan dalam matematika memerlukan kedua penalaran ini, baik induktif maupun deduktif.
Pembuktian melalui deduksi adalah sebuah jalan pemikiran yang menggunakan argumen-argumen deduktif untuk beralih dari premis-premis yang ada, yang dianggap benar, kepada kesimpulan-kesimpulan, yang mestinya benar apabila premis-premisnya benar. Pembuktian yang menggunakan penalaran deduktif biasanya menggunakan kalimat implikatif yang berupa pernyataan jika …, maka …. Kemudian, dikembangkan dengan menggunakan pola pikir yang disebut silogisme, yaitu sebuah argumen yang terdiri atas tiga bagian. Di dalamnya terdapat dua pernyataan yang benar (premis) yang menjadi dasar dari argument itu, dan sebuah kesimpulan (konklusi) dari argument tersebut. Di dalam logika, sebagai cabang (inti) matematika yang banyak membahas tentang silogisme terdapat beberapa aturan yang menyatakan apakah silogisme itu valid (sahih) atau tidak.
Contoh klasik dari penalaran deduktif, yang diberikan oleh Aristoteles, ialah
• Semua manusia fana (pasti akan mati). (premis mayor)
• Sokrates adalah manusia. (premis minor)
• Sokrates pasti (akan) mati. (kesimpulan)
Untuk pembahasan deduktif secara terinci seperti yang dipahami dalam filsafat, lihat Logika. Untuk pembahasan teknis tentang deduksi seperti yang dipahami dalam matematika, lihat logika matematika.
Penalaran deduktif seringkali dikontraskan dengan penalaran induktif, yang menggunakan sejumlah besar contoh partikulir lalu mengambil kesimpulan umum.
Penalaran deduktif dikembangkan oleh Aristoteles, Thales, Pythagoras, dan para filsuf Yunani lainnya dari Periode Klasik (600-300 SM.). Aristoteles, misalnya, menceritakan bagaimana Thales menggunakan kecakapannya untuk mendeduksikan bahwa musim panen zaitun pada musim berikutnya akan sangat berlimpah. Karena itu ia membeli semua alat penggiling zaitun dan memperoleh keuntungan besar ketika panen zaitun yang melimpah itu benar-benar terjadi. Penalaran deduktif tergantung pada premisnya. Artinya, premis yang salah mungkin akan membawa kita kepada hasil yang salah, dan premis yang tidak tepat juga akan menghasilkan kesimpulan yang tidak tepat.
Alternatif dari penalaran deduktif adalah penalaran induktif. Perbedaan dasar di antara keduanya dapat disimpulkan dari dinamika deduktif tengan progresi secara logis dari bukti-bukti umum kepada kebenaran atau kesimpulan yang khusus; sementara dengan induksi, dinamika logisnya justru sebaliknya. Penalaran induktif dimulai dengan pengamatan khusus yang diyakini sebagai model yang menunjukkan suatu kebenaran atau prinsip yang dianggap dapat berlaku secara umum.
Penalaran deduktif memberlakukan prinsip-prinsip umum untuk mencapai kesimpulan-kesimpulan yang spesifik, sementara penalaran induktif menguji informasi yang spesifik, yang mungkin berupa banyak potongan informasi yang spesifik, untuk menarik suatu kesimpulan umu. Dengan memikirakan fenomena bagaimana apel jatuh dan bagaimana planet-planet bergerak, Isaac Newton menyimpulkan teori daya tarik. Pada abad ke-19, Adams dan LeVerrier menerapkan teori Newton (prinsip umum) untuk mendeduksikan keberadaan, massa, posisi, dan orbit Neptunus (kesimpulan-kesimpulan khusus) tentang gangguan (perturbasi) dalam orbit Uranus yang diamati (data spesifik).
Pembuktian induktif, terkadang disebut logika induktif, adalah proses pembuktian dimana suatu argumen diduga mendukung kesimpulan tapi tidak bersinambungan dengannya; contoh: mereka tidak menjamin kebenaran itu. Induksi adalah bentuk pembuktian yang membuat generalisasi berdasarkan pendapat sesorang. Digunakan untuk menjelaskan properti atau relasi tipe berdasarkan sebuah observasi (contohnya, pada jumlah observasi atau pengalaman); atau untuk membuat hukum berdasarkan observasi terbatas dalam mempelajari alur fenomena. induksi ditetapkan, contohnya, dalam menggunakan preposisi spesifik seperti:
Es ini dingin. (atau: Semua es yang pernah kusentuh dingin.)
Bola biliar bergerak ketika didorong tongkat. (atau: Dari seratus bola biliar yang didorong tongkat, semuanya bergerak.)
…untuk membedakan preposisi umum seperti:
Semua es dingin.
Semua bola biliar bergerak ketika didorong tongkat.
Contoh lainnya adalah:
3+5=8 dan delapan adalah angka genap. Sebuah angka ganjil yang ditambahkan dengan angka ganjil lain akan menghasilkan angka genap.
Perlu diingat bahwa induksi matematika bukanlah bentuk pembuktian induktif. Induksi matematika adalah bentuk dari pembuktian deduktif.
Kelebihan dan Kekurangan Pembuktian Induktif dan Deduktif
Pada proses induksi atau penalaran induktif akan didapatkan suatu pernyataan baru yang bersifat umum (general) yang melebihi kasus- kasus khususnya (knowledge expanding), dan inilah yang diidentifikasi sebagai suatu kelebihan dari induksi jika dibandingkan dengan deduksi. Hal ini pulalah yang menjadi kelemahan deduksi. Pada penalaran deduktif, kesimpulannya tidak pernah melebihi premisnya. Inilah yang dianggap menjadi kekurangan pembuktian deduksi
Penalaran Induktif dan Deduktif
Matematika dikenal sebagai ilmu deduktif. Ini berarti proses pengerjaaan matematika harus bersifat deduktif. Matematika tidak menerima generalisasi berdasarkan pengamatan (induktif), tetapi harus berdasarkan pembuktian deduktif. Meskipun dedmikian untuk membantu pemikiran, pada tahap permulaan seringkali kita memerlukan bantuan contoh-contoh khusus atau ilustrasi geometris.
Perlu pula diketahui bahwa baik isi maupun metode mencari kebenaran dalam matematika berbeda dengan ilmu pengetahuan alam, apalagi dengan ilmu pengetahuan umumnya. Metode mencari kebenaran yang dipakai oleh matematika adalah ilmu deduktif, sedangkan oleh ilmu pengetahuan alam adalah induktif/eksperimen. Namun dalam matematika, mencari kebenaran itu bisa dimulai dengan cara induktif, tetapi selanjutnya generalisasi yang benar untuk sebuah keadaan harus bisa dibuktikan secara deduktif. Dalam matematika, suatu generalisasi, sifat, teori atau dalil itu belum dapat diterima kebenarannya sebelum dapat dibuktikan secara deduktif.
Matematika mempunyai bahasa dan aturan yang terdefinisi dengan baik, penalaran yang jelas dan sistematik, dan struktur yang sangat kuat. Dengan berbagai keunggulan ini, matematika digunakan sebagai suatu cara pendekatan dalam mempelajari ilmu pengetahuan dan teknologi, dan dalam menyelesaikan masalah yang rumit. Matematika juga merupakan suatu alat bantu yang digunakan oleh para pakar dalam berbagai bidang disiplin ilmu. Dengan matematika, suatu masalah nyata dapat dilihat dalam suatu model yang strukturnya jelas, tepat, dan bentuknya kompak (singkat dan padat).
Unsur utama dalam pekerjaan matematika adalah penalaran deduktif, yang bekerja dengan berbagai asumsi, tidak dengan pengamatan. Selain itu, matematika juga bekerja berdasarkan fakta dan fenomena yang muncul untuk sampai pada suatu perkiraan tertentu, yang dikenal sebagai penalaran induktif. Tetapi perkiraan yang diperoleh tidak dapat diterima begitu saja, harus diyakinkan kebenarannya atau dibuktikan secara deduktif dengan argument yang konsisten dan meyakinkan. Pekerjaan dalam matematika memerlukan kedua penalaran ini, baik induktif maupun deduktif.
Pembuktian melalui deduksi adalah sebuah jalan pemikiran yang menggunakan argumen-argumen deduktif untuk beralih dari premis-premis yang ada, yang dianggap benar, kepada kesimpulan-kesimpulan, yang mestinya benar apabila premis-premisnya benar. Pembuktian yang menggunakan penalaran deduktif biasanya menggunakan kalimat implikatif yang berupa pernyataan jika …, maka …. Kemudian, dikembangkan dengan menggunakan pola pikir yang disebut silogisme, yaitu sebuah argumen yang terdiri atas tiga bagian. Di dalamnya terdapat dua pernyataan yang benar (premis) yang menjadi dasar dari argument itu, dan sebuah kesimpulan (konklusi) dari argument tersebut. Di dalam logika, sebagai cabang (inti) matematika yang banyak membahas tentang silogisme terdapat beberapa aturan yang menyatakan apakah silogisme itu valid (sahih) atau tidak.
Contoh klasik dari penalaran deduktif, yang diberikan oleh Aristoteles, ialah
• Semua manusia fana (pasti akan mati). (premis mayor)
• Sokrates adalah manusia. (premis minor)
• Sokrates pasti (akan) mati. (kesimpulan)
Untuk pembahasan deduktif secara terinci seperti yang dipahami dalam filsafat, lihat Logika. Untuk pembahasan teknis tentang deduksi seperti yang dipahami dalam matematika, lihat logika matematika.
Penalaran deduktif seringkali dikontraskan dengan penalaran induktif, yang menggunakan sejumlah besar contoh partikulir lalu mengambil kesimpulan umum.
Penalaran deduktif dikembangkan oleh Aristoteles, Thales, Pythagoras, dan para filsuf Yunani lainnya dari Periode Klasik (600-300 SM.). Aristoteles, misalnya, menceritakan bagaimana Thales menggunakan kecakapannya untuk mendeduksikan bahwa musim panen zaitun pada musim berikutnya akan sangat berlimpah. Karena itu ia membeli semua alat penggiling zaitun dan memperoleh keuntungan besar ketika panen zaitun yang melimpah itu benar-benar terjadi. Penalaran deduktif tergantung pada premisnya. Artinya, premis yang salah mungkin akan membawa kita kepada hasil yang salah, dan premis yang tidak tepat juga akan menghasilkan kesimpulan yang tidak tepat.
Alternatif dari penalaran deduktif adalah penalaran induktif. Perbedaan dasar di antara keduanya dapat disimpulkan dari dinamika deduktif tengan progresi secara logis dari bukti-bukti umum kepada kebenaran atau kesimpulan yang khusus; sementara dengan induksi, dinamika logisnya justru sebaliknya. Penalaran induktif dimulai dengan pengamatan khusus yang diyakini sebagai model yang menunjukkan suatu kebenaran atau prinsip yang dianggap dapat berlaku secara umum.
Penalaran deduktif memberlakukan prinsip-prinsip umum untuk mencapai kesimpulan-kesimpulan yang spesifik, sementara penalaran induktif menguji informasi yang spesifik, yang mungkin berupa banyak potongan informasi yang spesifik, untuk menarik suatu kesimpulan umu. Dengan memikirakan fenomena bagaimana apel jatuh dan bagaimana planet-planet bergerak, Isaac Newton menyimpulkan teori daya tarik. Pada abad ke-19, Adams dan LeVerrier menerapkan teori Newton (prinsip umum) untuk mendeduksikan keberadaan, massa, posisi, dan orbit Neptunus (kesimpulan-kesimpulan khusus) tentang gangguan (perturbasi) dalam orbit Uranus yang diamati (data spesifik).
Pembuktian induktif, terkadang disebut logika induktif, adalah proses pembuktian dimana suatu argumen diduga mendukung kesimpulan tapi tidak bersinambungan dengannya; contoh: mereka tidak menjamin kebenaran itu. Induksi adalah bentuk pembuktian yang membuat generalisasi berdasarkan pendapat sesorang. Digunakan untuk menjelaskan properti atau relasi tipe berdasarkan sebuah observasi (contohnya, pada jumlah observasi atau pengalaman); atau untuk membuat hukum berdasarkan observasi terbatas dalam mempelajari alur fenomena. induksi ditetapkan, contohnya, dalam menggunakan preposisi spesifik seperti:
Es ini dingin. (atau: Semua es yang pernah kusentuh dingin.)
Bola biliar bergerak ketika didorong tongkat. (atau: Dari seratus bola biliar yang didorong tongkat, semuanya bergerak.)
…untuk membedakan preposisi umum seperti:
Semua es dingin.
Semua bola biliar bergerak ketika didorong tongkat.
Contoh lainnya adalah:
3+5=8 dan delapan adalah angka genap. Sebuah angka ganjil yang ditambahkan dengan angka ganjil lain akan menghasilkan angka genap.
Perlu diingat bahwa induksi matematika bukanlah bentuk pembuktian induktif. Induksi matematika adalah bentuk dari pembuktian deduktif.
Kelebihan dan Kekurangan Pembuktian Induktif dan Deduktif
Pada proses induksi atau penalaran induktif akan didapatkan suatu pernyataan baru yang bersifat umum (general) yang melebihi kasus- kasus khususnya (knowledge expanding), dan inilah yang diidentifikasi sebagai suatu kelebihan dari induksi jika dibandingkan dengan deduksi. Hal ini pulalah yang menjadi kelemahan deduksi. Pada penalaran deduktif, kesimpulannya tidak pernah melebihi premisnya. Inilah yang dianggap menjadi kekurangan pembuktian deduksi

MATEMATIKA SEBAGAI RATU DAN PELAYAN ILMU PENGETAHUAN

matematika sebagai dasaR iLmu PengeTahuaN…?

Carl Friedrich Gauss mengatakan matematika sebagai “Ratunya Ilmu Pengetahuan”.^[21] Di dalam bahasa aslinya, Latin Regina Scientiarum, juga di dalam bahasa Jerman Königin der Wissenschaften, kata yang bersesuaian dengan ilmu pengetahuan berarti (lapangan) pengetahuan. Jelas, inipun arti asli di dalam bahasa Inggris, dan tiada keraguan bahwa matematika di dalam konteks ini adalah sebuah ilmu pengetahuan. Pengkhususan yang mempersempit makna menjadi ilmu pengetahuan alam adalah di masa terkemudian.

Bila seseorang memandang ilmu pengetahuan hanya terbatas pada dunia fisika, maka matematika, atau sekurang-kurangnya matematika murni, bukanlah ilmu pengetahuan. Albert Einstein menyatakan bahwa “sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, maka mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan.“^[6]

Banyak filsuf yakin bahwa matematika tidaklah terpalsukan berdasarkan percobaan, dan dengan demikian bukanlah ilmu pengetahuan per definisi Karl Popper.^[22] Tetapi, di dalam karya penting tahun 1930-an tentang logika matematika menunjukkan bahwa matematika tidak bisa direduksi menjadi logika, dan Karl Popper menyimpulkan bahwa “sebagian besar teori matematika, seperti halnya fisika dan biologi, adalah hipotetis-deduktif: oleh karena itu matematika menjadi lebih dekat ke ilmu pengetahuan alam yang hipotesis-hipotesisnya adalah konjektur (dugaan), lebih daripada sebagai hal yang baru.”^[23] Para bijak bestari lainnya, sebut saja Imre Lakatos, telah menerapkan satu versi pemalsuan kepada matematika itu sendiri.

Matematika adalah raja dari segala ilmu pengetahuan. Ungkapan tersebut dikarenakan dalm proses pembelajaran metematika, secara sadar kita akan melatih kemampuan berpikir kritis, logis, analitis, dan sistematis. hal tersebut juga menjadi sebab mengapa matematika diperkenalkan sejak kita balita, bahkan sebelumnya, agak pikiran kita terkonsep dan mampu memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari. sebenarnya, jika ditafsirkan secara umum, tujuan pembelajaran matematika adalah untuk membentuk pola berpikir seseorang sehingga bisa berpikir kritis, logis dan sistematis. Banyak sekali menfaat dari ilmu yang satu ini, dan kebanyakan berhubungan langsung (dapat dipraktekkan secara langsung) dalam kehidupan sehari-hari. Istilah jembatan ilmu pengetahuan dan teknologi sangatlah pandas dilontarkan kepada ilmu Matematika. Sebagai contoh, kemajuan yang pesat sekarang pada bidang Informasi dan tekhnologi luar angkasa bisa dikatakan karena kemajuan bidang ilmu fisika. Tetapi, fisika tanpa matematika sama saja dengan manusia tanpa tangan dan kaki, Ia hanya siap bekerja namun tidak dapat malakukannya. berbagai kemajuan dalam teknologi berawal dari berbagai penemuan baru yang merintisnya dan setelah itu dikembangkan terus menerus tanpa batasan kepuasan, karena memang sifat manusia yang tidak pernah puas. Kemajuan teknologi sekarang ini seharusnya menjadi motivator kita untuk lebih mengembangkan apa yang ada di sekitar kita,khususnya dalam bidang teknologi. Di era globalisasi ini hampir semua kegiatan yang di lakukan manusia tidak lepas dari penggunaan teknologi, kebanyakan aplikasi dan penggunaan secara maksimal terjadi di negara-negara maju seperti Amerika serikat, Jepang, dll karena selain efisien, penggunaan TI juga sangat praktis dibandingkan dengan manual. namun pada negara berkembang pemanfaatannya belum maksimal, hal tersebut mungkin karena keterbatasan dana, SDM maupun hal lain yang belum mendukung.
Dalam perkembangan teknologi informatika, matematika memberikan kontribusi tersendiri. Berbagai aplikasi dan program di komputer tidak lepas dari penerapan aplikasi matematika, diantaranya adalah operasi Aljabar Boolean, teori graf, matematika diskrit, logika simbolik, peluang dan statistika. Teknologi yang semakin berkembang ini menunjukkan perkembangan manusia dalam menerapkan aplikasi matematika dalam mengembangkan bidang lain.Salah satu contohnya adalah penerapan matematika diskrit dalam pengembangan teknologi komputer. Matematika diskrit adalah nama lazim untuk lapangan matematika yang paling berguna di dalam ilmu komputer teoretis. Ini menyertakan teori komputabilitas, teori kompleksitas komputasional, dan teori informasi. Teori komputabilitas memeriksa batasan-batasan berbagai model teoretis komputer, termasuk model yang dikenal paling berdaya – Mesin turing. Teori kompleksitas adalah pengkajian traktabilitas oleh komputer; beberapa masalah, meski secara teoretis terselesaikan oleh komputer, tetapi cukup mahal menurut konteks waktu dan ruang, tidak dapat dikerjakan secara praktis, bahkan dengan cepatnya kemajuan perangkat keras komputer.
Perkembangan dalam lingkup memori juga merupakan bagian dari kontribusi matematika dalam Komunikasi dan teknologi informasi. Memori menyimpan berbagai bentuk informasi sebagai angka biner. Informasi yang belum berbentuk biner akan dipecahkan dengan sejumlah instruksi yang mengubahnya menjadi sebuah angka atau urutan angka-angka. Selain itu matematika mengajarkan kita untuk berpikir kritis, bagaimana agar teknologi itu terus berkembang sejalan dengan berkembangnya ilmu matematika. Pengolahan angka-angka dalam matematika membentuk suatu rumus pemrograman yang digunakan dalam pengembangan ilmu komputer.Teknik informatika dan matematika sangat erat hubungannya. Karena inti dasar teknik informatika adalah pembuatan software dan di dalam pembuatannya itu membutuhkan perhitungan dan logika yang pasti. Oleh karena itu, matematika sangat penting dalam rangka sebagai dasar dan pengembangan dalam majunyat teknik informatika khususnya pembuatan software. Dalam pembuatan software tersebut menggunakan system bilangan biner dan kode bilangan. Semua disusun dengan urutan tertentu sehingga menghasilkan suatu software yang dapat diguanakan untuk mempermudah aktivitas kita. Disamping itu, untuk membuat suatu pemrograman di komputer, kita harus menggunakan algoritma. Algoritma itu sendiri adalah langkah sistematis yang mengikuti kaidah logika.Perkembangan ilmu matematika itu sendiri sebenarnya memberi umpan balik pada perkembangan teknologi informatika.Perkembangan teknik informatika juga akan mempermudah pengolahan perhitungan matematika menjadi lebih sistematis.
Sebagai salah satu contoh wajah kontribusi tersebut seperti yang dipersembahkan oleh Charles Babbage yang merupakan salah seorang ilmuwan matematika, yang telah banyak memberikan karyanya pada kehidupan manusia, khususnya bidang komputer. Mesin penghitung (Difference Engine no.1) yang ditemukan oleh Charles Babbage (1791-1871) adalah salah satu icon yang paling terkenal dalam sejarah perkembangan komputer dan merupakan kalkulator otomatis pertama. Babbage juga terkenal dengan julukan bapak komputer. The Charles Babbage Foundation memakai namanya untuk menghargai kontribusinya terhadap dunia komputer.

MATEMATIKA SEKOLAH

MATEMATIKA SEKOLAH

PENGERTIAN MATEMATIKA SEKOLAH

Matematika sekolah adalah matematika yang diajarkan disekolah yaitu matematika yang diajarkan di pendidikan dasar (SD & SMP) dan Pendidikan Menengah (SMU & SMK). Hal ini berarti, bahwa yang dimaksud dengan kurikulum Matematika adalah Kurikulum pelajaran Matematika yang diberikan di jenjang pendidikan menengah kebawah, bukan diberikan dijenjang pendidikan tinggi.

Matematika sekolah terdiri atas bagian – bagian matematika yang dipilih guna menumbuh kembangkan kemampuan – kemampuan dan membentuk peribadi serta berpandu pada perkembangan IPTEK. Hal ini menunjukan bahwa Matematika Sekolah tetap memiliki ciri – ciri yang dimiliki matematika yaitu memiliki objek kejadian yang abstrak serta berpola piker Deduktif, Konsisten

HAKIKAT MATEMATIKA
1. Matematika Sebagai Ilmu Deduktif

Matematika dikenal sebagai ilmu Deduktif. Ini berarti proses pengerjaan matematika harus bersifat deduktif. Matematika tidak menerima generalisasi berdasarkan pengamatan (Induktif), tetapi harus berdasarkan pembuktian Deduktif. Meskipun demikian untuk membantu pemikiran pada tahap – tahap permulaan sering kali kita memerlukan bantuan contoh – contoh khusus atau ilistrasi geometris.

Contoh 1

Jumlah dua buah bilangan ganjil adalah bilangan genap

Jawab

Misalkan pembuktiaan secara deduktif sebagai berikut : Andaikan m dan n sembarang dua bilangan bulat, maka 2m + 1 dan 2n + 1 tentunya masing – masing merupakan bilangan ganjil.. Jika kita Jumlahkan :

(2m + 1) + (2n + 1) = 2(m + n + 1)

Karena m dan n bilangan bulat, makam (m + n + 1) bilangan bulat, sehingga 2(m + n + 1) adalah bilangan genap. Jadi jumlah 2 bilangan ganjil selalu genap.

2. Matematika sebagai Ilmu Terstruktur

Matematika mempelajari tentang pola keteraturan, tentang struktur yang terorganisasikan. Hal ini dimulai dari unsur – unsur yang tidak terdefinisikan (underfined terms, basic terms, primitive terms), kemudian pada unsure yang didefinisikan, ke aksioma / postulat, dan akhir nya pada teorema (Ruseffendi, 1980 : 50). Konsep-konsep matematika tersusun secara hierarkis, terstruktur, logis, dan sistematis mulai dari konsep yang paling sederhana sampai pada konsep yang paling kompleks. Dalam matematika terdapat topic atau konsep prasyarat sebagai dasar untuk menemani topic atau konsep selanjut nya.
Sebagai contoh dapat dilihat susunan topic – topik dalam matematika yang harus dipelajari terlebih dahulu ( dan berikutnya) untuk sampai pada topic persamaan. Untuk sampai pada topic persamaan tersebut haruslah melalui jalur – jalur pasti yang telah tersusun. Sebaliknya apabila jalur – jalur itu dilanggar, maka konsep persamaan tidak akan tertanam dengan baik.

• Operasi tambah
• Operasi kurang
• Operasi kali
• Operasi bagi
• Operasi Pangkat
• Operasi Logaritma
• Operasi Akar
• Bilangan
• Persamaan

Catatan : Dari diagram di atas, terlihat bahwa untuk memahami konsep persamaan memerlukan konsep – konsep lain yang menjadi prasyarat, akan tetapi tidak perlu setiap konsep di bawanya dipakai, Cukup dipilih sebuah jalur tertentu, tergantung dari tujuan intruksionalnya.

3. Matematika sebagai ratu dan pelayan ilmu
Matematika sebagai ratu atau ibunya ilmu di maksudkan bahwa matematika adalah sebagai sumber dari ilmu yang lain. Banyak ilmu-ilmu yang penemuanb dan pengembangannya bergantung dari matematika. Sebagai contoh, banyak teori=-teori dan cabang-cabang dari Fisika dan kimia (modern) yang di temukan dan di kembangkan melalui konsep kalkulus, khususnya tentang persamaan diferensial.
Dari kedudukan matematika sebagai ratu ilmu pengetahuan tersirat bahwa matematika itu sebagai suatu ilmu berfungsi pula untuk melayani dan ilmu pengetahuan. Dengan perkataan lain, matematika tumbuh dan berkembang untuk dirinya sebagai suatu ilmu, juga untuk melayani kebutuhan ilmu pengetahuan dalam pengembangan dan operasionalnya.



FUNGSI MATEMATIKA SEKOLAH
Fungsi matematika sebagai :

1. Alat

Siswa di beri pengalaman menggunakan matematika sebagai alat untuk memahami atau menyampaikan suatu informasi misalnya melalui persamaan – persamaan atau tabel – tabel dalam model- model matematika yang merupakan penyederhanaan dari soal-soal cerita atau soal – soal uraian matematika lain nya.

2. Pola pikir

Belajar matematika bagi para siswa, juga merupakan pembentukan pola pikir dalam pemahaman suatu pengertian maupun dalam penalaran suatu hubungan diantara pengertoian – pengertian.

3. Ilmu atau pengetahuan

Sebagai guru harus mampu menunjukan betapa matematika selalu mencari kebenaran dan bersedia meralat kebenaran yang telah diterima, bila ditemukan kesempatan untuk mencoba mengembangkan penemuan – penemuan sepanjang mengikuti pola pikir yang sah.


PERAN MATEMATIKA SEKOLAH

Para pelajar memerlukan Matematika untuk memenuhi kebutuhan praktis dan memecahkan masalah dalam kehidupan sehari – hari. Selain itu, agar mampu mengikuti pelajaran matematika lebih lanjut, untuk membantu memahami bidang studi lain seperti Fisika, Kimia, Arsitektur, Farmasi dsb, dan agar para siswa dapat berfikir logis, kritis, dan praktis beserta bersikap positif dan berjiwa kreatif.
Sebagai warga Negara yang layak, yang sejajar dengan warga Negara lain tentunya harus memiliki pengetahuan umum minimum, pengetahuan umum minimumnya itu diantaranya adalah matematika.
Bagi mereka yang tidak melanjutkan studi, supaya mereka dapat berdagang dan berbelanja, dapat berkomunikasi melalui tulisan atau gambar seperti membaca grafik dan presentase, dapat membuat catatan – catatan dengan angka dan lai